tentukan persamaan garis singgung lingkaran x²+y²+4x-8y-48=0 yang bergradien 4!

Ada dua kemungkinan persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien 4. Persamaan garis singgung lingkaran adalah

• y = 4x + 46 atau 4x - y + 46 = 0

• y = 4x - 22 atau 4x - y - 22 = 0

Pembahasan

GARIS SINGGUNG LINGKARAN DIKETAHUI GRADIEN

Rumus mencari persamaan garis singgung lingkaran bila diketahui gradiennya ada dua kondisi.

1. Bila lingkaran dengan pusat (0 , 0) jari - jari lingkaran r dan gradien m. Persamaan lingkarannya x² + y² = r² maka persamaan garis singgungnya

y = mx ± r [tex]\sqrt{1 \:+\: m^2}[/tex]

2. Bila lingkaran dengan pusat (a , b) jari - jari lingkaran r dan gradien m. Persamaan lingkarannya (x - a)²+ (y - b)² = r² maka persamaan garis singgungnya

y - b = m (x - a) ± r [tex]\sqrt{1 \:+\: m^2}[/tex]

Bila bentuk persamaan lingkaran berupa

x² + y² + kx + hy + c = 0

bisa diubah menjadi

(x + [tex]\frac{1}{2}[/tex] k)² + (y + [tex]\frac{1}{2}[/tex] h)² = [tex]\frac{1}{4} k^2 \:+\: \frac{1}{4} h^2[/tex] - c

Karena

(x + [tex]\frac{1}{2}[/tex] k)² + (y + [tex]\frac{1}{2}[/tex] h)² = [tex]\frac{1}{4} k^2 \:+\: \frac{1}{4} h^2[/tex] - c

Bila dikuadratkan

x² + [tex]\frac{1}{2}[/tex] kx + [tex]\frac{1}{2}[/tex] kx + [tex]\frac{1}{4}[/tex]  k² + y² + [tex]\frac{1}{2}[/tex] hy + [tex]\frac{1}{2}[/tex] hy + [tex]\frac{1}{4}[/tex] h² = [tex]\frac{1}{4}[/tex] k² + [tex]\frac{1}{4}[/tex] h² - c

Lalu

x² + kx + [tex]\frac{1}{4}[/tex] k² + y² + hy + [tex]\frac{1}{4}[/tex] h² - [tex]\frac{1}{4}[/tex] k² - [tex]\frac{1}{4}[/tex] h² + c = 0

Jadi

x² + kx + y² + hy + c = 0

x² + y² + kx + hy + c = 0

Maka persamaan lingkaran ini memiliki

Titik pusat (- [tex]\frac{1}{2} h \:;\: - \frac{1}{2}[/tex] k)

Jari - jari r = [tex]\sqrt{\frac{1}{4}k^2 \:+\: \frac{1}{4} h^2 \:-\: c}[/tex]

Diketahui:

Persamaan lingkaran x² + y² + 4x - 8y - 48 = 0

m = 4

Ditanyakan:

Persamaan garis singgung ?

Penjelasan:

x² + y² + 4x - 8y - 48 = 0

(x² + 4x) + (y² - 8y) = 48

(x + 2)² + (y - 4)² = 2² + (-4)² + 48

(x + 2)² + (y - 4)² = 4 + 16 + 48

(x + 2)² + (y - 4)² = 68

Pusat (-2 , 4)

r² = 68

r = [tex]\sqrt{68} \:=\: \sqrt{4 \times 17} \:=\: \sqrt{4} \times \sqrt{17}[/tex]

r = 2 [tex]\sqrt{17}[/tex]

Persamaan garis singgung

y - b = m (x - a) ± r [tex]\sqrt{1 \:+\: m^2}[/tex]

y - 4 = 4 (x - (-2)) ± 2 [tex]\sqrt{17} \: \sqrt{1 \:+\: 4^2}[/tex]

y - 4 = 4 (x + 2) ± 2 [tex]\sqrt{17} \: \sqrt{1 \:+\: 16}[/tex]

y - 4 = 4x +8 ± 2 [tex]\sqrt{17} \: \sqrt{17}[/tex]

y = 4x + 8 + 4 ± (2 × 17)

y = 4x + 12 ± 34

Kemungkinan pertama

y = 4x + 12 + 34

y = 4x + 46

4x - y + 46 = 0

Kemungkinan kedua

y = 4x + 12 - 34

y = 4x - 22

4x - y - 22 = 0

Jadi persamaan garis singgungnya adalah

• y = 4x + 46  atau 4x - y + 46 = 0

• y = 4x - 22  atau 4x - y - 22 = 0

Pelajari lebih lanjut

Persamaan Lingkaran https://brainly.co.id/tugas/23068973

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dengan Gradien https://brainly.co.id/tugas/21636937

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat (A , B) Dengan Titik Singgung https://brainly.co.id/tugas/21083130

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pusat (0,0) Dengan Titik Singgung https://brainly.co.id/tugas/21327598

Detail Jawaban

Kelas : XI

Mapel : Matematika

Bab : Lingkaran

Kode : 11.2.4.1.

#AyoBelajar