penduduk kota B pada waktu tertentu sekitar 2 juta jiwa.jika dalam kurun waktu 10 tahun kemudian jumlah penduduknya bertambah 500 ribu jiwa,tentukan besar tingk

Kelas         : XII
Pelajaran   : Matematika & Geografi
Kategori     : Aritmetik & Geometrik
Kata Kunci : tingkat, pertumbuhan, penduduk, aritmatik, geometrik, eksponensial

Kode : 12.2.7 [Kelas 12 Matematika BAB 7 - Baris dan Deret]

Diketahui
Jumlah penduduk awal [tex]P_o=2.000.000 \ jiwa[/tex]
Pertambahan penduduk sebanyak 500.000 jiwa setelah 10 tahun.
Sehingga jumlah penduduk menjadi [tex]P_t=2.500.000 \ jiwa[/tex]
Jangka waktu t = 10 tahun

Ditanya
Tingkat pertumbuhan penduduk

Penyelesaian

Persoalan ini sebenarnya termasuk ke dalam bidang studi geografi tentang mendeskripsikan fenomena kependudukan. Namun karena rumus yang digunakan untuk menentukan tingkat pertumbuhan penduduk dapat bersifat aritmatik, geometrik, maupun eksponensial, tentu akan kita bahas secara matematis pula. Konsep pertumbuhan penduduk hanya sedikit diurai sekadar untuk mengingatkan kembali.

Pertumbuhan penduduk dipengaruhi oleh pertumbuhan penduduk alamiah dan migrasi neto. Penduduk alamiah merupakan selisih antara jumlah kelahiran (L) dan kematian (M), sedangkan migrasi neto adalah selisih antara jumlah imigrasi (I) dan emigrasi (E).
Rumus jumlah penduduk akhir tahun adalah,
[tex]P_t=P_o+(L-M)+(I-E)[/tex]
Keterangan
[tex]P_t=jumlah \ penduduk \ akhir \ tahun[/tex]
[tex]P_o=jumlah \ penduduk \ awal \ tahun[/tex]

Menurut BPS (Badan Pusat Statistik), laju pertumbuhan penduduk adalah angka yang menunjukkan tingkat pertambahan penduduk (rate of growth) per tahun dalam jangka waktu tertentu. Angka ini biasanya lazim dinyatakan dalam persentase. Tingkat pertumbuhan penduduk dapat dihitung dengan tiga metode, yakni secara aritmatik, geometrik, maupun eksponensial. Metode yang paling sering digunakan di BPS adalah metode geometrik. 

Step-1
Rumus dasar pertumbuhan penduduk geometrik

Tingkat pertumbuhan penduduk dengan metode ini beranggapan bahwa jumlah penduduk akan bertambah secara geometrik menggunakan dasar perhitungan bunga majemuk (menurut Adioetomo dan Samosir, 2010). Laju pertumbuhan penduduk dianggap tetap untuk setiap tahunnya atau mengukuti deret ukur.

[tex]P_t=P_o(1+r)^t[/tex]
Keterangan
[tex]P_n=jumlah \ penduduk \ setelah \ t \ tahun \ ke \ depan[/tex]
r = angka (tingkat) pertumbuhan penduduk
t = jangka waktu dalam tahun

Karena ingin mencari tingkat pertumbuhan penduduk (r), rumus tersebut diolah menjadi,
[tex]r= (\frac{P_t}{P_o})^{ \frac{1}{t}}-1 [/tex]

Data-data soal kita input ke dalam rumus ini.

[tex]r= (\frac{2.500.000}{2.000.000})^{ \frac{1}{10}}-1 [/tex]

[tex]r= (1,25)^{ \frac{1}{10}}-1 [/tex] atau [tex]r= \sqrt[10]{1,25}-1 [/tex]

Dengan alat bantu hitung diperoleh tingkat pertumbuhan penduduk pertahun sebesar 0,0226 atau 2,26%.

Step-2
Rumus dasar pertumbuhan penduduk aritmatik

Tingkat pertumbuhan penduduk dengan metode ini menganggap bahwa jumlah penduduk pada masa mendatang akan bertambah dengan jumlah yang sama setiap tahun, atau mengikuti deret hitung.

[tex]P_t=P_o(1+r.t)[/tex]

Karena ingin mencari tingkat pertumbuhan penduduk (r), rumus tersebut diolah menjadi,
[tex]r= \frac{1}{t}(\frac{P_t}{P_o}-1) [/tex]

Data-data soal kita input ke dalam rumus ini.

[tex]r= \frac{1}{10}(\frac{2.500.000}{2.000.000}-1) [/tex]

[tex]r= \frac{1}{10}(1,25-1) [/tex]

[tex]r= \frac{1}{10}(0,25) [/tex]

Jadi tingkat pertumbuhan penduduk pertahun sebesar 0,025 atau 2,5%. 

Step-3
Rumus dasar pertumbuhan penduduk eksponensial

Laju pertumbuhan penduduk eksponensial memakai asumsi bahwa pertumbuhan penduduk berlangsung secara terus-menerus akibat adanya kelahiran dan kematian di setiap waktu. Menurut Adioetomo dan Samosir (2010), metode eksponensial menggambarkan pertambahan penduduk yang terjadi secara sedikit-sedikit sepanjang tahun.

[tex]P_t=P_o.e^{r.t}[/tex]

Karena ingin mencari tingkat pertumbuhan penduduk (r), rumus tersebut diolah menjadi,
[tex]r= \frac{1}{t}ln(\frac{P_t}{P_o}) [/tex]

Data-data soal kita input ke dalam rumus ini.

[tex]r= \frac{1}{10}ln(\frac{2.500.000}{2.000.000}) [/tex]

[tex]r= \frac{1}{10}ln(1,25) [/tex] gunakan alat bantu hitung untuk nilai logaritma natural (ln)

[tex]r= \frac{1}{10}(0,223) [/tex]

Diperoleh tingkat pertumbuhan penduduk pertahun sebesar 0,0223 atau 2,23%.

____________________

Simak soal notasi sigma 
brainly.co.id/tugas/13193195
Soal mengenai pembuktian dengan induksi matematika
brainly.co.id/tugas/13567638
Serta soal terkait deret aritmatika & geometri
brainly.co.id/tugas/1124372
https://brainly.co.id/tugas/44561